Problemlösningar 6:2

Ursäkta den hemska layouten på just detta inlägg, men det är innehållet som egentligen räknas.

P1. Bokstäverna A, B och C kan skrivas i olika ordning, t.ex. ABC, ACB och CBA.

      a) Visa att A, B och C kan ordnas på sex olika sätt.

          Bokstav A har tre möjliga platser att stå på, eftersom det finns tre bokstäver. Bokstav B har då bara två platser kvar att välja, och bokstav C har bara en plats kvar. 3 * 2 * 1 = 6

      b) På hur många sätt kan A, B, C och D ordnas?

          A har 4 möjligheter, B har 3, C har 2, D har 1. 4 * 3 * 2 * 1 = 24

      c) Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

         

     d) Om antalet bokstäver är n så kan antalet sätt visas med ett uttryck. Vilket av dessa är det rätta?

         2n

         6n

         n(n – 1)

         1 · 2 · 3 · 4 · … · n

         n(n + 1)

         Jag kontrollerar helt enkelt med uteslutningsmetoden och mina värden i tabellen ovan. Den första, 2n, stämmer på 3 bokstäver, men inte på 4, eftersom 2*4 = 8 ≠ 24. Den andra, 6n, stämmer på 4 bokstäver, men inte på 3, eftersom 3*6 = 18 ≠ 6. Den tredje, n(n-1) stämmer på 3 bokstäver, men inte på 4, eftersom 4* (4-1) = 12 ≠ 24. Den fjärde, 1 · 2 · 3 · 4 · … · n, stämmer på alla, men eftersom jag använde 3 och 4 som kontrolltal innan, gör jag det nu också. 1*2*3 = 6. 1*2*3*4 = 24. Den femte, n(n + 1), stämmer inte på någon. 3* (3+1) = 12 ≠ 6.  4* (4+1) = 20 ≠ 24.

         svar: 1 * 2 * 3 * 4 * … · n

     e) På hur många olika sätt kan sju personer stå i en kö?

          Jag kollar på min tabell längre upp.

          svar: 5040 olika sätt

P2. Arvid tänker på ett tal. Han dividerar talet med 4. Kvoten han får adderar han med 3. Han får då svaret 18. Vilket tal tänker han på?

      För att lösa detta kan vi räkna baklänges, dvs börja från slutet och byta ut addition mot subtraktion, division med multiplikation. Om han adderar med 3 och får svaret 18, måste vi subtrahera 3 av 18, vilket blir 15. Om han dividerade x med 4 och får 15, måste vi multiplicera 15 med 4, vilket blir 60. Talet han tänker på är alltså 40.

      svar: 40

P3. 

P4. Summan av tre på varandra följande tal är 300. Vilka är talen?

      För att räkna ut det behöver vi tre tal. Vi börjar med att dela 300 på 3, vilket blir 100. För att få 100, 100 och 100 att bli på varandra följande tal, subtraherar vi 1 från den första 100, och adderar 1 till den sista 100, så att det blir 300. Svaren blir 99, 100 och 101.

       svar: 99, 100, 101

P5. Summan av tre på varandra följande udda tal är 87. Vilka är talen?

       För att räkna ut det gör vi på samma sätt som innan, 87 / 3 = 29. Men istället för att subtrahera 1 från 29, subtraherar vi 2, eftersom det är på varandra följande udda tal vi ska räkna ut, inte bara på varandra följande tal. Om vi subtraherar 2 från den första 29, måste vi addera 2 till den sista 29, så att summan fortfarande blir 87. Svaren blir 27, 29 och 31.

       svar: 27, 29, 31

P6.  Summan av fyra på varandra följande udda tal är 160. Vilka är talen?

       Som innan måste vi dividera 160 med så många tal som ska följa varandra.  160 / 4 = 40. Det ska vara fyra på varandra följande tal, så vi tar 40, 40, 40 och 40, och gör om dem till 37, 39, 41, 43, samtidigt som vi håller att addera motsvarande när vi subtraherar. Ett tips om man ska räkna ut en sådan här uppgift är att se till att ”mitten”, i det här fallet mellan 39 och 41, dvs 40, blir det man kom fram till när man dividerade det första talet.

       svar: 37, 39, 41, 43

P7. Hur många kulor har Alva?

      Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

      Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

      Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

      Ledtråd 4:  Alva, Bella och Cesar har tillsammans 110 kulor.

      a) Redovisa en lösning för hur du löser uppgiften med hjälp av de fyra ledtrådarna.

          Nu kallar jag Alva för A, Bella för B och Cesar för C. Läs följande långsamt och högt för dig själv för att förstå:

Först kom jag fram till att om B - 10 =A, och A=c/3, måste det betyda att B -10 = C/3. Ledtråd 3 säger att B=2c. Så om b-10=c/3, och b= c/2, betyder det att c/2 =c/3+10. C/2 - 10=c/3 betyder att c/2 =c/3+10, eftersom man drar ifrån tio ifrån båda sidorna. Ekvationen c/2 =c/3+10 betyder samma sak som c/2-c/3=10, och med den ekvationen kan vi börja gissa oss fram. Vi ser att det finns både dividerat med 2, och dividerat med 3, så talet bör kunna divideras med 6. Om vi då låtsas att C är 30 (30 är delbart med 6), så blir det så här: 15-10=10, vilket ju inte stämmer. Men vi ser att differensen är hälften så stor som den borde vara, och om differensen av två variabler är fel med exakt hälften, ska variablerna dubblas. Då blir C till 60, och ekvationen blir 30-20=10, vilket är rätt. Ekvationerna säger att c/2 = 30, och ledtråd 3 säger att c/2 = B, så B=30. Ekvationerna säger också att c/3 = 20, och ledtråd 2 säger att c/3 = A, så A=20. För att kontrollera adderar jag 20, 30 och 60, och summan blir 110, så det är rätt.

          svar: A = 20, B = 30, C = 60

      b) Visa hur du också kan lösa uppgiften utan hjälp av ledtråd 4.

           Som vi ser i a)-uppgiften, är ledtråd 4 inte nödvändig, eftersom jag bara använde den för att kontrollräkna. Det är ju bra att alltid kontrollräkna, men det är inte nödvändigt. Så svaret på b), är samma som a), fast utan kontrollräkningen i slutet.