Problemlösning 3:2

Min ytterst eleganta handstil bör ej kommenteras.

Tänk efter 2:2

Tänk efter 2:1

Klicka på bilden för att förstora

Formula 8; Tänk efter 1:1; T2

Problemlösningar 6:2

Ursäkta den hemska layouten på just detta inlägg, men det är innehållet som egentligen räknas.

P1. Bokstäverna A, B och C kan skrivas i olika ordning, t.ex. ABC, ACB och CBA.

      a) Visa att A, B och C kan ordnas på sex olika sätt.

          Bokstav A har tre möjliga platser att stå på, eftersom det finns tre bokstäver. Bokstav B har då bara två platser kvar att välja, och bokstav C har bara en plats kvar. 3 * 2 * 1 = 6

      b) På hur många sätt kan A, B, C och D ordnas?

          A har 4 möjligheter, B har 3, C har 2, D har 1. 4 * 3 * 2 * 1 = 24

      c) Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

         

     d) Om antalet bokstäver är n så kan antalet sätt visas med ett uttryck. Vilket av dessa är det rätta?

         2n

         6n

         n(n – 1)

         1 · 2 · 3 · 4 · … · n

         n(n + 1)

         Jag kontrollerar helt enkelt med uteslutningsmetoden och mina värden i tabellen ovan. Den första, 2n, stämmer på 3 bokstäver, men inte på 4, eftersom 2*4 = 8 ≠ 24. Den andra, 6n, stämmer på 4 bokstäver, men inte på 3, eftersom 3*6 = 18 ≠ 6. Den tredje, n(n-1) stämmer på 3 bokstäver, men inte på 4, eftersom 4* (4-1) = 12 ≠ 24. Den fjärde, 1 · 2 · 3 · 4 · … · n, stämmer på alla, men eftersom jag använde 3 och 4 som kontrolltal innan, gör jag det nu också. 1*2*3 = 6. 1*2*3*4 = 24. Den femte, n(n + 1), stämmer inte på någon. 3* (3+1) = 12 ≠ 6.  4* (4+1) = 20 ≠ 24.

         svar: 1 * 2 * 3 * 4 * … · n

     e) På hur många olika sätt kan sju personer stå i en kö?

          Jag kollar på min tabell längre upp.

          svar: 5040 olika sätt

P2. Arvid tänker på ett tal. Han dividerar talet med 4. Kvoten han får adderar han med 3. Han får då svaret 18. Vilket tal tänker han på?

      För att lösa detta kan vi räkna baklänges, dvs börja från slutet och byta ut addition mot subtraktion, division med multiplikation. Om han adderar med 3 och får svaret 18, måste vi subtrahera 3 av 18, vilket blir 15. Om han dividerade x med 4 och får 15, måste vi multiplicera 15 med 4, vilket blir 60. Talet han tänker på är alltså 40.

      svar: 40

P3. 

P4. Summan av tre på varandra följande tal är 300. Vilka är talen?

      För att räkna ut det behöver vi tre tal. Vi börjar med att dela 300 på 3, vilket blir 100. För att få 100, 100 och 100 att bli på varandra följande tal, subtraherar vi 1 från den första 100, och adderar 1 till den sista 100, så att det blir 300. Svaren blir 99, 100 och 101.

       svar: 99, 100, 101

P5. Summan av tre på varandra följande udda tal är 87. Vilka är talen?

       För att räkna ut det gör vi på samma sätt som innan, 87 / 3 = 29. Men istället för att subtrahera 1 från 29, subtraherar vi 2, eftersom det är på varandra följande udda tal vi ska räkna ut, inte bara på varandra följande tal. Om vi subtraherar 2 från den första 29, måste vi addera 2 till den sista 29, så att summan fortfarande blir 87. Svaren blir 27, 29 och 31.

       svar: 27, 29, 31

P6.  Summan av fyra på varandra följande udda tal är 160. Vilka är talen?

       Som innan måste vi dividera 160 med så många tal som ska följa varandra.  160 / 4 = 40. Det ska vara fyra på varandra följande tal, så vi tar 40, 40, 40 och 40, och gör om dem till 37, 39, 41, 43, samtidigt som vi håller att addera motsvarande när vi subtraherar. Ett tips om man ska räkna ut en sådan här uppgift är att se till att ”mitten”, i det här fallet mellan 39 och 41, dvs 40, blir det man kom fram till när man dividerade det första talet.

       svar: 37, 39, 41, 43

P7. Hur många kulor har Alva?

      Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

      Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

      Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

      Ledtråd 4:  Alva, Bella och Cesar har tillsammans 110 kulor.

      a) Redovisa en lösning för hur du löser uppgiften med hjälp av de fyra ledtrådarna.

          Nu kallar jag Alva för A, Bella för B och Cesar för C. Läs följande långsamt och högt för dig själv för att förstå:

Först kom jag fram till att om B - 10 =A, och A=c/3, måste det betyda att B -10 = C/3. Ledtråd 3 säger att B=2c. Så om b-10=c/3, och b= c/2, betyder det att c/2 =c/3+10. C/2 - 10=c/3 betyder att c/2 =c/3+10, eftersom man drar ifrån tio ifrån båda sidorna. Ekvationen c/2 =c/3+10 betyder samma sak som c/2-c/3=10, och med den ekvationen kan vi börja gissa oss fram. Vi ser att det finns både dividerat med 2, och dividerat med 3, så talet bör kunna divideras med 6. Om vi då låtsas att C är 30 (30 är delbart med 6), så blir det så här: 15-10=10, vilket ju inte stämmer. Men vi ser att differensen är hälften så stor som den borde vara, och om differensen av två variabler är fel med exakt hälften, ska variablerna dubblas. Då blir C till 60, och ekvationen blir 30-20=10, vilket är rätt. Ekvationerna säger att c/2 = 30, och ledtråd 3 säger att c/2 = B, så B=30. Ekvationerna säger också att c/3 = 20, och ledtråd 2 säger att c/3 = A, så A=20. För att kontrollera adderar jag 20, 30 och 60, och summan blir 110, så det är rätt.

          svar: A = 20, B = 30, C = 60

      b) Visa hur du också kan lösa uppgiften utan hjälp av ledtråd 4.

           Som vi ser i a)-uppgiften, är ledtråd 4 inte nödvändig, eftersom jag bara använde den för att kontrollräkna. Det är ju bra att alltid kontrollräkna, men det är inte nödvändigt. Så svaret på b), är samma som a), fast utan kontrollräkningen i slutet.

Tänk efter 6:2

T1. Hur kan du kontrollera om x = 6 är lösning till ekvationen 8 + x = 13?

      Vi ska kolla om x = 6  i ekvationen 8 + x = 13.  För att kunna räkna ut det kollar vi
      om ekvationen stämmer om x = 6. Ekvationen 8 + 6 = 13 stämmer inte, eftersom
      8 + 6 = 14. Det betyder att x inte är 6. Här är det matematiska sättet att lösa det:

      x = 6

      8 + x = 13

      8 + 6 = 14 ≠ 13

      x ≠ 6

T2. Hur tänker du när du löser ekvationerna:

      a) x + 7 = 21

          För att räkna ut detta subtraherar vi 7 av 21, dvs 21 - 7.  Så skriver man det:
          21 - 7 = 14. 

          svar: x = 14

          Här är det matematiska sättet att lösa det:

          x + 7 = 21

          21 - 7 = x = 14

          x = 14

      b) x - 8 = 20

          För att räkna ut detta adderar vi 8 med 20, eftersom 8 + 20 = x, om x - 8 = 20.
          Så skriver man det: 8 + 20 = 28

          svar: x = 28

          Här är det matematiska sättet att lösa det:

          x - 8 = 20

          8 + 20 = x = 28

          x = 28

      c) 6x = 18

          För att räkna ut detta dividerar vi 18 med 6, eftersom 6 * x = 18. Så skriver man
          det: 18 / 6 = 3

          svar: x = 3

          Här är det matematiska sättet att lösa det:

          6x = 18

          18 / 6 = x = 3

          x = 3

      d) x / 3 = 10

           För att räkna ut detta multiplicerar vi 10 med 3, eftersom produkten av det
           blir x, om x / 3 = 10. Så skriver man det: 3 * 10 = 30

           svar: x = 30

           Här är det matematiska sättet att lösa det:

           x / 3 = 10

           10 * 3 = x = 30

           x = 30

T3. Hur tänker du när du löser ekvationerna:

      a) 2x + 3 = 15

          Först tar vi 15 - 3 vilket blir 12. Enligt ekvationen är 2x + 3 = 15, så 2x = 12. För
          att räkna ut x delar vi 12 på 2, dvs 12 / 2 = 6

          svar: x = 6

          Här är det matematiska sättet att lösa det:

          2x + 3 = 15

          15 - 3 = 12 = 2x

          12 / 2 = x = 6

          x = 6

      b) x / 4 - 2 = 3

          Först tar  vi 2 + 3, så att vi får reda på vad svaret på x / 4 är. 2 + 3 = 5. Det
          betyder att x / 4 = 5. Då räknar vi 5 * 4 och får svaret x, dvs 20. Vi kan
          kontrollera det genom att räkna hela ekvationen som vanligt, men istället för x,
          använder vi 20.  20 / 4 - 2 = 3, vilket bevisar att x = 20.

          svar: x = 20

          Här är det matematiska sättet att lösa det:

          x / 4 - 2 = 3

          3 + 2 = 5

          5 * 4 = x = 20

          x = 20

T4. Detta är början på ett mönster med kulor. Uttrycket 3n + 2 visar hur många
       kulor det sammanlagt behövs till n st röda kulor. 

      a) Arvid har 20 röda kulor i sitt mönster. Hur många har han sammanlagt?

          Vi räknar med hjälp av uttrycket 3n + 2. I det här fallet är n = 20, så vi räknar:

          3 * 20 + 2 = 62.

          svar: 62 kulor

      b) Ebba har sammanlagt 47 kulor i sitt mönster och påstår att det finns 15 röda
          kulor i hennes mönster. Visa om Ebba har rätt.

          För att kontrollera om Ebba har rätt, räknar vi med uttrycket 3n + 2, fast
          baklänges, eftersom vi redan vet det slutgiltiga talet, och vi ska kontrollera om
          starttalet 15 är rätt. 47 - 2 = 45. Nu har vi räknat delen ”+ 2” baklänges, och nu
          är det dags för ”3n”, och eftersom 3n betyder 3 multiplicerat med n, måste vi
          dividera om vi ska räkna baklänges. 45 / 3 = 15. Det bevisar att Ebba har rätt i
          att 47 kulor sammanlagt innebär 15 röda kulor.

          svar: Ebba har rätt

      c) Leo har sammanlagt 101 kulor. Hur många röda kulor finns i hans mönster?

          Här ska vi jobba på samma sätt som på b-uppgiften, nämligen baklänges med
          hjälp av uttrycket 3n + 2. För tar vi 101 - 2 = 99. Sedan 99 / 3 = 33.

          svar: 33 röda kulor

Problemlösning 6:1

P1.

     a) Det finns 4 personer. Vi kallar dem 1, 2, 3, 4

         1:   2, 3, 4

         2:   3, 4

         3:   4

         4: Har redan skakat hand med alla, eftersom 4:an står med i alla andra. 

         svar:  6 handskakningar

     b) Det finns 8 personer. Vi kallar dem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

         1:   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

         2:   3, 4, 5, 6, 7, 8

         3:   4, 5, 6, 7, 8

         4:   5, 6, 7, 8

         5:   6, 7, 8

         6:   7, 8

         7:   8

         8:   Har redan skakat hand med alla, eftersom 8:an står med i alla andra.

         svar: 28 handskakningar

P2.

     a) 

    b) Vi räknade n - 1, vilket blev 20 - 1 = 19

    c) svar: n - 1

    d) Jag tror att han har rätt, eftersom 40 - 1 = 39    Vi använde formeln (n - 1) som
        har stämt i alla andra sammanhang.

P3. Det räknas ut på samma sätt som vid P1. b).

       svar: 28 matcher

P4. Det finns 10 lag. Vi kallar dem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

         1:   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

         2:   3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

         3:   4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

         4:   5, 6, 7, 8, 9, 10

         5:   6, 7, 8, 9, 10

         6:   7, 8, 9, 10

         7:   8, 9, 10

         8:   9, 10

         9:   10

       10:   Har redan skakat hand med alla, eftersom 10:an står med i alla andra.

        De skulle mötas två ggr, så vi dubblar; 45*2 = 90

        svar: 90 matcher

P5.

     a) 16*(16 -1) = 240

         svar: 240 matcher

     b) 20*(20 -1) = 380

         svar: 380 matcher

P6.  Jag gör om färgerna till nummer, 1,2,3 och 4. Ifall vi sätter färg 4 i den första
       rutan, finns det totalt sex möjligheter för de resterande tre färgerna. 1 2 3,  1 3 2,
       2 1 3,  2 3 1,  3 1 2  och 3 2 1. Sedan multiplicerar vi 6 med 4, eftersom
       grundfärgen (färgen i den första rutan, som i det här fallet var färg 4) kan
       ersättas med resten av färgerna (1, 2, 3). 6*4 = 24

       svar: 24 sätt

Euklides Geometri - filmer

1.

2.

3.

Tänk efter 4:2

T1: Ebba handlar för 3/4 av sin veckopeng och Lucas för 3/5 av sin. Vem av 

      Ebba och Lucas handlar för mest pengar?

Ebba:

1/4 = 0,25

0,25 x 3 = 0,75

Lucas:

1/5 = 0,2

0,2 x 3 = 0,6

0,75 > 0,6

svar: Ebba handlar för mest pengar, eftersom 0,75 > 0,6.

T2: Hur tänker du när du ska ta reda på hur mycket 3/5 av 350 kr är?

350/5 = 70

70 x 3 = 210

T3: Så här beräknade Arvid summan: 1/2 + 1/3 = 2/5

      a) Har Arvid räknat rätt?

      b) Vilket svar får du?

a) Nej, Arvid har inte räknat rätt. Han adderade bara täljarna och nämnarna var för sig.

b) Jag multiplicerar täljaren och nämnaren vid de båda talen så att de två nämnarna blir 6.

     1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

T4: På vilka olika sätt kan du beräkna 1/2 + 1/4?

1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4

1/2 + 1/4 = 0,5 + 0,25 = 0,75